ISOMETRIA

La palabra isometría proviene del griego iso (prefijo que significa igual o mismo) y metria (que significa medir). Por ello, una definición adecuada para isometría sería igual medida.

 

Cuadrado simétrico, una construcción isométrica.

Se denomina transformación isométrica de una figura en el plano aquella transformación  que no altera ni la forma ni el tamaño de la figura en cuestión y que solo involucra un cambio de posición de ella (en la orientación o en el sentido), resultando que la figura inicial y la final son semejantes, y geométricamente congruentes.

Además de relacionarse con la semejanza y la congruencia en las figuras planas, las transformaciones isométricas tienen una estrecha relación con la expresión artística, apoyada en la construcción geométrica (por ejemplo, en las teselaciones).

Por ello, en el aula, el tópico isometría se puede desarrollar en torno a dos aspectos temáticos:
1.- Actividades en torno a la posibilidad de embaldosar superficies planas con figuras geométricas (teselaciones).

2.- Actividades asociadas al diseño, descripción y reconocimiento de transformaciones isométricas
Respecto a la isometría y a las posibilidades de transformaciones de figuras, se pueden describir tres tipos de ejecución: por traslación, por rotación y por simetría (o reflexión).
Cualquiera que sea el método aplicado para realizar una transformación isométrica en un plano es imprescindible trabajar sobre un sistema de coordenadas.

Sistema de coordenadas

Un sistema de coordenadas bidimensional (en un plano) es un sistema en el cual un punto puede moverse en todas direcciones, manteniéndose siempre en el mismo plano.
El sistema más usado es el sistema de coordenadas rectangular u ortogonal, más conocido como Plano Cartesiano.
Este sistema está formado por dos rectas perpendiculares entre sí llamadas ejes de coordenadas (eje de las x y eje de las y).
Las coordenadas de un punto determinan dicho punto. Conocidas las coordenadas de ese punto, puede ser localizado en el plano, como en la figura de abajo donde se han localizado los puntos P1 y P2.

Coordenadas para los puntos P1 y P2.

Transformaciones isométricas por Traslación

En una transformación isométrica por traslación se realiza un cambio de posición de la figura en el plano. Es un cambio de lugar, determinado por un vector.

Traslación del punto D a su imagen D’ (vector a = DD’) y traslación de un triángulo.

En general, se llama traslación de vector (v) a la isometría que a cada punto m del plano le hace corresponder un punto m' del mismo plano, tal que mm' es igual a v.
Las traslaciones isométricas están marcadas por tres elementos:
La dirección, si es horizontal, vertical un oblicua.
El sentido, derecha, izquierda, arriba y abajo.
Y la magnitud del desplazamiento que se refiere a cuánto se desplazó la figura en una unidad de medida.
Ver: PSU: Geometría, Pregunta 04_2006

Rotación del triángulo, respecto del punto X.

Transformaciones isométricas por Rotación

Una rotación, en geometría, es un movimiento de cambio en la orientación de un cuerpo; de forma que, dado un punto cualquiera del mismo, este permanece a una distancia constante de un punto fijo, y tiene las siguientes características:
Un punto denominado centro de rotación.
Un ángulo
Un sentido de rotación.
Estas transformaciones por rotación pueden ser positivas o negativas dependiendo del sentido de giro.
Para el primer caso debe ser un giro en sentido contrario a las manecillas del reloj, y será negativo el giro cuando sea en sentido de las manecillas.

Transformaciones isométricas por Simetría

El concepto se simetría se nos presenta de forma natural y nos entrega ejemplos de gran belleza en nuestro entorno.

Simetría en la naturaleza.

Tanto la figura del escarabajo como de la mariposa se ven simétricas, pues si trazamos una línea recta en el centro de cada una, la parte que está a la derecha de la línea sería exactamente igual a la parte que está a la izquierda de esa misma línea.

Sobre la base de estos dos ejemplos, se descubre fácilmente que hay una transformación que hace que la parte izquierda de la figura sea un reflejo de la parte derecha sin cambiar su forma ni sus dimensiones.

Esto nos lleva a afirmar que Simetría es la correspondencia exacta (un reflejo) en la disposición regular de las partes o puntos de un cuerpo o figura con relación a un punto (centro), una recta (eje de simetría) o un plano.
Definido o conocido el concepto de simetría, podemos agregar que la simetría puede ser central o axial
Ver: PSU: Geometría; Pregunta 03_2006


Una isometría es una aplicación matemática entre dos espacios métricos que conserva las distancias entre los puntos. Es decir, las isometrías son los morfismos de la categoría de espacios métricos.

Definición

Formalmente si E₁ y E₂ son dos espacios métricos una isometría φ viene definida por lo siguiente:

Siendo d₁(·,·) y d₂(·,·) las respectivas funciones de distancia en los dos espacios métricos E₁ y E₂.

Las transformaciones isométricas son transformaciones de figuras en el plano que se realizan sin variar las dimensiones ni el área de las mismas; la figura inicial y la final son semejantes, y geométricamente congruentes.

La palabra isometría tiene su origen en el griego iso (igual o mismo) y metria (medir), una definición cercana es igual medida. Existen tres tipos de isometrías: traslación, simetría y rotación.

raslación

La traslación es una isometría que realiza un cambio de posición, es el cambio de lugar, determinada por un vector.

'

Se llama traslación de vector a la isometría que a cada punto m del plano le hace corresponder un punto m' del mismo plano tal que mm' es igual a v.
Las traslaciones están marcadas por tres elementos: La dirección, si es horizontal, vertical, oblicua, derecha, izquierda, arriba y abajo. Y la magnitud del desplazamiento que se refiere a cuanto se desplazó la figura en una unidad de medidas. Esto hace referencia exclusivamente a las traslaciones isométricas y la siometria de traslación solo sirve para patrones infinitos.

Un movimiento o isometría es una transformación que preserva todas las distancias y por ello preserva el tamaño y la forma. (Nota: iso significa "igual" y metría significa "medida"). La imagen de una figura bajo esta transformación siempre es congruente con la figura original.

Tipos de isometrías en el plano
Traslación: Isometría en que todos los puntos se desplazan una distancia fija hacia sus imágenes a lo largo de trayectorias paralelas.
	Rotación: Isometría en que todos los puntos giran un ángulo constante con respecto a un punto fijo. El punto fijo se denomina centro de rotación y la cantidad de giro se denomina ángulo de rotación.     O centro de rotación a ángulo de rotación
Reflexión: Isometría en que todos los puntos son enviados a sus imágenes reflejadas con respecto a una recta de reflexión, que actúa como espejo.       Eje y actúa como recta de reflexión

      ISOMETRÍA 

Una proyeccion  isométrica es un método gráfico de representación, más específicamente una axonometrica cilíndrica ortogonal Constituye una representación visual de un objeto tridimensional en dos dimensiones, en la que los tres ejes ortogonales principales, al proyectarse, forman ángulos de 120º, y las dimensiones paralelas a dichos ejes se miden en una misma escala.

El término isométrico proviene del idioma griego: "igual medida", ya que la escala de medición es la misma en los tres ejes principales (x, y, z).

La isometria es una de las formas de proyección utilizadas en dibujo tecnico que tiene la ventaja de permitir la representación a escala, y la desventaja de no reflejar la disminución aparente de tamaño -proporcional a la distancia- que percibe el ojo humano.La isometría determina una dirección de visualización en la que la proyección de los ejes coordenados x, y, z conforman el mismo ángulo, es decir, 120º entre sí. Los objetos se muestran con una rotación del punto de vista de 45º en las tres direcciones principales (x, y, z).

Esta perspectiva puede visualizarse considerando el punto de vista situado en el vértice superior de una habitación cúbica, mirando hacia el vértice opuesto. los ejes x e y son las rectas de encuentro de las paredes con el suelo, y el eje z, el vertical, el encuentro de las paredes. En el dibujo, los ejes (y sus líneas paralelas), mantienen 120º entre ellos.

En perspectiva isométrica se suele utilizar un coeficiente de reducción de las dimensiones equivalente a 0,83. El dibujo isométrico puede realizarse sin reducción, a escala 1:1 o escala natural, y los segmentos del dibujo paralelos a los ejes, se corresponderán con las del objeto.

Dentro del conjunto de proyecciones axonométricas o cilíndricas, existen otros tipos de perspectiva, que difieren por la posición de los ejes principales, y el uso de diferentes coeficientes de reducción para compensar las distorsiones visuales.

En el diseño y el dibujo técnico

En diseño industrial se representa una pieza desde diferentes puntos de vista, perpendicular a los ejes coordenados naturales. Una pieza con movimiento mecánico presenta en general formas con ejes de simetría o caras planas. Tales ejes, o las aristas de las caras, permiten definir una proyección ortogonal.

Se puede fácilmente dibujar una perspectiva isométrica de la pieza a partir de tales vistas, lo que permite mejorar la comprensión de la forma del objeto

En arquitectura

.Eugène Viollet-le-Duc utilizó este sistema en muchos dibujos de sus edificios, evitando acentuar la importancia de unos volúmenes sobre otros e independizándose del punto de vista del observador.

La perspectiva de este dibujo del castillo no es isométrica, si así lo fuera, las torres del castillo estarían dibujadas con la misma altura y diámetro, además las líneas de cumbreras de los tejados serían paralelas entre si, formando un rombo o romboide dependiendo de la planta del castillo.
EJES UTILIZADOS EN EL DIBUJO ISOMÉTRICO

 La base del dibujo isométrico es un sistema de tres ejes que se llaman "ejes isométricos"que representan a las tres aristas de un cubo, que forman entre sí ángulos de 120°

 a)    LÍNEAS ISOMÉTRICAS

 Son aquellas líneas que son paralelas a cualquiera de los tres ejes isométricos

 b)LÍNEAS NO ISOMÉTRICAS 

Son aquellas líneas inclinadas sobre las cuales no se pueden medir distancias verdaderas; estas líneas cuando se encuentran presente en un dibujo isométrico no se hallan ni a lo largo de los ejes ni son paralelas a los mismos. 

Además las líneas no isométricas se dibujan tomando como puntos de referencia otros puntos pertenecientes a líneas isométricas

 MODELOS REALIZADOS EN EL DIBUJO ISOMÉTRICO

- Dibujo isométrico de un cuadrado

 -Dibujo isométrico de una circunferencia

 -Dibujo isométrico de un arco

 -Dibujo isométrico de un sólido irregular